小 鹰
牛顿力学中，引力质量 \(m\) 的质点受到引力质量 \(M\) 的引力 \(\vec{F}\) 为：
$$\vec{F} = -\dfrac{GMm}{r^3}\,\vec{r} \tag{1}$$式中，\(G\) 为引力常数，\(r\) 为兩质点间的距离，\(\vec{r}\) 是 \(M\) 到 \(m\) 的方向矢量。
质点 \(m\) 在 \(M\) 的引力场中的势能 \(U\) 为：
$$ U(r)=-\dfrac{GMm}{r} \tag{2}$$在广义相对论里，在史瓦兹希德(Schwarzshild)球对称中心引力场 \(M\) 中，因时空度规不再平直，质点 \(m\) 的势能比(2)式多出了一项。
$$ U(r)=-\dfrac{GMm}{r} - \dfrac{GML^2}{mc^2r^3} \tag{3}$$式中，\(L\)为角动量，\(L=rmv_\perp\)，\(v_\perp\)为粒子 \(m\) 垂直于方向矢量 \(\vec{r}\) 的速度分量，\(c\)为光速。
由此，可求出 \(m\) 受到 \(M\) 的引力为：
$$\begin{aligned} \vec{F} &= -\dfrac{\partial U(r)}{\partial r}\,\hat{r}_0 \\ &= -\dfrac{GMm}{r^3}\,\vec{r} \;-\; \dfrac{3v_\perp^2GMm}{c^2r^3}\,\vec{r} \end{aligned} \tag{4}$$按照牛顿第二定律，惯性质量为 \(m\) 的质点运动方程为：
$$\vec{F} = m\vec{a} = m\,\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \tag{5}$$令(5) = (4)，如果认为质点 \(m\) 的引力质量与惯性质量相同，左右消去\(m\)後，则可得到它运动的二阶微分方程：
$$\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\left(1 + \dfrac{3v_\perp^2}{c^2}\right)\dfrac{GM}{r^3}\,\vec{r} \tag{6}$$在二维直角坐标系中，对于粒子 \(M\) 和 \(m\)，可按(6)式分别写出其 \(x\) 与 \(y\) 向的运动方程，经去量纲化和降阶处理後可得\(8\)个一阶方程，然後应用Runge-Kutta数值法，分别求出每个粒子的瞬时座标和速度，并绘出它们的轨迹。
讨论 一
1859年，法国天文学家勒威耶(Leverrier)发现，即使计及其余七大行星的摄动，甚至包括太阳扁率的影响在内，水星绕日轨道的进动(precession)观测值仍比预期值要多出每百年\(43\)弧度秒。
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论，在修正计算引力运动的牛顿方程之後，他可以精确地算出这丢失的\(43\)弧度秒。
百余年来，我们看到的对广义相对论的解释，以及其场方程的解析解，多是些理论和数学推导，不少读者面对复杂的公式和奇怪的符号，难以理解，只能望而生畏、却步不前，“人云亦云”地把它归因为一句“时空弯曲”。
然而，进动毕竟是个经典力学的问题。本文试图通过受力分析与数值求解，定性地、且直观和形象地把广义相对论的一些概念讲清楚。
图一表明，如果太阳 \(M\) 只有一个行星 \(m\)，按照牛顿力学，\(m\) 将沿椭圆轨道稳定地绕日运行，没有进动。
图一
然而，从(4)式可以看出，按照广义相对论，在引力场中运动的粒子的受力，比牛顿力学的(1)式要多出一项来。我们的数值计算显示，正是这一项正比 \(\dfrac{v_\perp^2}{c^2}\) 的微小力，导致行星绕日的运动轨道出现如图二的进动。
图二
在水星的情形，由于它最靠近太阳，且椭圆轨道的高偏心率，使之近日点 \(r\) 变得很小，此处的 \(v_\perp\) 为最大，因此在强大的太阳质量附近，这种源於广义相对论效应的微小进动变得可以被直接观察到。
讨论 二
有了“力”，并做了模拟与对比，这项长久无法解释的“多余”的进动似乎就容易理解了。
但细心的读者可能并不满足，他们会追问道：“那这‘力’又是从哪里冒出来的呢？”
的确，这多出来的引力项很有些奇怪，它与 \(v_\perp\) 有关，如果粒子 \(m\) 在 \(M\) 场中静止，或只沿径向 \(\vec{r}\) 运动，此力就不存在。这是为什么？
要理解这点，恐怕还是要回到“时空弯曲”上去了。
试想一列沿弯道运行的火车，由于惯性，车轮对外轨道挤压，而固定在地面的外轨道则对车轮有一种约束力，也正是这个约束的存在，才使火车得以沿弯道运动。
同样，一个粒子在强引力场中运动，如果时空是平直的，按照牛顿力学，粒子所受到的引力刚好平衡了因其惯性而产生的离心力，故它得以在引力场中精准地沿二次曲线运动。
然而，按照广义相对论，时空是物质存在的属性，引力场是一种物质，其时空是弯曲的，粒子在其中的非径向运动“挤压”了周围的时空──“铁轨”，那“时空”本身也会以同样的“力”来回应，构成对该粒子运动附加的约束。这种来自引力场时空 “约束”的表现，就是椭圆轨道本身的进动。
总之，找到来自“时空弯曲”的“力”，或许就抓住了理解广义相对论的要点。
写于2026年3月22日。
参考阅读：
小鹰：《文革中我参加过的“相对论批判”》 (2018年6月)
小鹰：《争论的价值──犹太文化的启示》 (2020年8月) (附照片)
小鹰：《三体问题》 (2024年4月28日)(附照片及视频)
小鹰：《熵与状态》 (2023年10月17日)
小鹰：《闭卷判分 名人归零》 (2019年4月)
小鹰：《兰顿氏蚁》 (2017年8月)(附照片及视频)