[自留习作园地]

三 体 问 题

小 鹰


由于相关的小说和影视作品上市,最近“三体”这个词儿在中国火了。的确,物理学的三体问题,因其解的混沌性质,容易令人遐想,或墬入迷思。

2006年,出于好奇,我曾研读了大卫·艾奇逊的《从微积分到混沌》[1]一书,其中在二维平面空间中,讨论了三体的引力运动问题。

现将笔记整理如下。

我们知道,如果只有二体存在,只要给出初始条件,根据牛顿定律,即可以精确解出二体的运动轨迹和速度。

然而,在三体情形下,如图一所示,每个粒子受到其它二粒子的引力作用,根据牛顿第二定律,固然也可以写出各粒子在X和Y方向上的六个二阶运动方程,但这些方程式彼此耦合,没有解析解。

图一

通常的求解办法是:将其降阶为十二个一阶微分方程,经去量纲化(non-dimensionalization)後,用可变步长的数字叠代法(the Runge-Kutta method)计算,近似求出每个粒子瞬时的坐标和速度。

图二a显示,如果没有第三粒子存在,当粒子m1和m2的质量相同,等于0.5,初始位置分别在X轴的两侧等距之(0,-0.3)和(0,0.3)点处,初速度大小相等,一个向南,一个向北,即为(0,-0.3)和(0,0.3)时,两个粒子将各自绕系统重心做稳定的椭圆运动。宇宙中观察到的双星现象,即是如此。

但当有第三粒子介入时,每个粒子的轨迹会变得极为复杂。

例如,具有同样质量的m3,从(-0.1,0.75)的位置,以(0,-0.3)的初速度向南进入,如图二b、c、d所示,粒子1与粒子3很快接近,一起向西北方向行,粒子2则被排斥到东南方。不久,粒子2又转回来,与粒子3缠绕,把粒子1踢了出去。

图二

这种相互纠缠,不断变换“伙伴”的关系,在下面的图三中可以看得更清楚,此时系统其它条件与图二相同,只是m3的初速改为(0,-0.2)。

图三

该图显示,粒子3与彼此纠缠的粒子1和2最後可能再次相遇,那之後的结果又会是怎样?

笔者按照Acheson书中提供的程序,进一步演算,并将全过程拍成影片,後经友人建议和帮助,又改用录屏技术,获得更清晰的视频。有兴趣的读者可以点击这里观看:MP4模式的视频链接:三体动态图。如有读者无法观看MP4模式,可试点击AVI模式的原摄影片视频链接。该短片长约三分钟,但可按播放软件中的快进键或选择播放速度,加快播放。

影片结尾时显示,粒子3(黑)与粒子1/2(红与绿)相会之後,再次交换位置,最终,粒子2/3(绿与黑)结伴,一路向西,粒子1(红)则独自投东,踽踽而行。二者背道而驰,渐行渐远,达到了三体衰变(decay)或解构崩溃的结局。

有些读者可能会问,在我们生活的多体大千世界,怎麽没有见过如此诡异的行径?太阳系的九大行星不是秩序井然地运行多年,安然无恙麽?而且轨迹可以预测,人们准确知道月蚀、日蚀会在什麽时候发生,也可推算出哈雷彗星回归的日子。

我的理解是:我们这里说的三体混沌现象会发生,关键在于三体间的相互作用量级相当,彼此影响,形成强耦合状态,以致其运动完全无法预测。

但是,如果一个体系,只有一个物体占绝对优势,如太阳系中太阳的质量占99.86%,其余众多小物体,如诸行星及其卫星,则共同围绕它做稳定的二体运动,行星彼此间的吸引,由于质量小且相距较远,属于高阶小项,可以忽略不计。

此时,若有更小的物体,以一定的初始条件,闯入二体之间,结果会怎么样?

以下四张图片,对此做了说明。

初始条件与图二相同,第三体质量m ≈ 0。

第一种情形,如图四显示,第三体从远处(0,10)的位置,以初速(0,-0.3)出发,受二体的吸引加速向下。如果加速时间够长,使第三体获得足够的动能,或当切入时另二体恰在远端附近,那它就有可能直接穿越二体体系。

图四

第二种情形,如图五显示,第三体从近处(0,1)的位置,同样以初速(0,-0.3)出发,因受二体吸引加速时间较短,第三体速度不够高,且刚好与第二体接近,结果被第二体俘获,成为绕其旋转的卫星。然而,经过相当的时间之後,第三体又解脱出来,向西南方向飞去。

图五

第三种情形,如图六显示,第三体从稍远的(0,3)位置,同样以初速(0,-0.3)出发,因受二体吸引加速时间略长,第三体速度居中,它既不被俘获,又无力直接穿越,结果在二体的势井中,混沌漫游一番之後,终于得以向东北约60度方向逃逸。

图六

第四种情形,如图七显示,第三体从偏离Y轴的(-0.1,0.75)位置,同样以初速(0,-0.3)出发,结果与上相似。只是这一次,它没能幸运逃逸,而是直接撞上了第二体。图中显示二粒子相撞的位置在屏幕的(318,120)点处。

图七

从月球上的无数陨石坑和地球上夜间常见到的流星,可知这种相撞情形并不罕见。

太阳系存在已有几十亿年,该撞的或能逃的天体大概多已被淘汰了,现在剩下的,可以说,是一个基本稳定的结构。但多体耦合导致的混沌法则依然存在,从大尺度来看,一切仍旧可能改变,包括月球每年正悄悄地远离地球约一英寸多,无数小行星和碎石块仍在太阳系里杂乱飞舞,随时威胁着地球上的生命存在。

以上只是些数字模拟,试图形象地给出有关三体混沌运动中的一些基本概念,以及可能发生的情形。

浩瀚的宇宙是和谐秩序与紊乱混沌的统一体,然而,无论如何,质量相近的三体天体极不稳定,应不适合生命起源和进化的漫长过程,遑论产生造就高级智慧生物。


[1], David Acheson, "From Calculus to Chaos", Oxford, (1997).

写于2024年4月28日。

To read English version please click: Jim Shao, “The three-body problem”

Or, goto http://www.azcolabs.com/xy_3BD_Eng.html


参考阅读:

小鹰:《文革中我参加过的“相对论批判”》 (2018年6月)

小鹰:《争论的价值──犹太文化的启示》 (2020年8月) (附照片)

小鹰:《熵与状态》 (2023年10月17日)

小鹰:《闭卷判分 名人归零》 (2019年4月)

小鹰:《兰顿氏蚁》 (2017年8月)


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